अब जरा एक सरल से गणितीय सूत्र पर एक निगाह डालें। उदाहरण के लिए हमें105 गुणा 107 का हल निकालना है।तो वैदिक गणित की मदद से इसे इस तरह हल करेंगे-
105x107
= 1X (1X1) / 12 (5+7) / 35 (5X7)
= 11235
अगर हमें 12345 x 11 का हल निकालना है तो वैदिक गणित की मदद से इसे इस तरह हल करेंगे
12345 x 11
12345 x 11
= 1/3 (1+2) 5 (2+3)7 (3+4) 9 (4+5)
= 135795
इस तरह हम सवाल को एक निश्चित विधि से विभाजित कर उसका उत्तर उसके अंदर से ही हासिल कर सकते हैं। क्या यह जादू नहीं है?
इस तरह हम सवाल को एक निश्चित विधि से विभाजित कर उसका उत्तर उसके अंदर से ही हासिल कर सकते हैं। क्या यह जादू नहीं है?
इस के लिये बहुत ही सीधा तरीका है:
1000 –784
4 को छोड कर, हर अंक को 9 से घटाइये: इस तरह:
(9–7) (9–8) आप को मिलता है: 21 अब अंतिम अंक (4) को, 10 से घटाइये. आपको मिलता है: (10–4 = 6)
इस अंक को 21 के बाद लगा दीजिये: 216!
यानि, दाहिने हाथ से अंतिम अंक छोड कर, हर अंक को 9 से घटाएं, और अंतिम अंक को 10 से घटाएं.
अब ये कीजिये:
100000 – 67543
(9–6) (9–7) (9–5) (9–4) (10–3)
= 32457
100000 – 67543
(9–6) (9–7) (9–5) (9–4) (10–3)
= 32457
ग्यारह(11) से गुणा
जब किसी संख्या को 11 से गुणा करना हो तो इस तरह करें
234 × 11 = 2574
पहले 4 लिखें फिर संख्यों को जोड़ कर लिखें
2-(2+3=5)-(3+4=7)-4
जब किसी संख्या को 11 से गुणा करना हो तो इस तरह करें
234 × 11 = 2574
पहले 4 लिखें फिर संख्यों को जोड़ कर लिखें
2-(2+3=5)-(3+4=7)-4
पहला अध्याय--
100, 1000, 10000 आदि इस तरह की संख्यायों में से किसी संख्या को घटाने के लिए यह फ़ॉर्मूला यूज करे.
जैसे की 1000-357=? निकालना हैं. इसके लिए हमें अंतिम संख्या(357) को लेना हैं. फिर इसके अंतिम संख्या 7 को छोड़ कर बाकी संख्या को 9 में से घटाना हैं और अंतिम संख्या (७) को 10 में से घटाना हैं.
9 9 10
3 5 7
-----------------
6 4 3
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 643.
100, 1000, 10000 आदि इस तरह की संख्यायों में से किसी संख्या को घटाने के लिए यह फ़ॉर्मूला यूज करे.
जैसे की 1000-357=? निकालना हैं. इसके लिए हमें अंतिम संख्या(357) को लेना हैं. फिर इसके अंतिम संख्या 7 को छोड़ कर बाकी संख्या को 9 में से घटाना हैं और अंतिम संख्या (७) को 10 में से घटाना हैं.
9 9 10
3 5 7
-----------------
6 4 3
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 643.
अब एक दूसरा प्रश्न लेते हैं. प्रश्न:
10,000 - 1049 = ? फिर वैसी ही तरीके की गणना करेंगे..
9 9 9 10
1 0 4 9
--------------------------
8 9 5 1
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 8951.
10,000 - 1049 = ? फिर वैसी ही तरीके की गणना करेंगे..
9 9 9 10
1 0 4 9
--------------------------
8 9 5 1
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 8951.
नोट: दोस्तों एक बात का ध्यान रखना हैं की पहली संख्या में जितने जीरो हैं उतनी ही अंतिम संख्या में नंबर होने चाहिए. जैसे की अगर 1000 - 357 = ?.
इस प्रश्न में पहली संख्या में तीन जीरो हैं तो दूसरी संख्या ३ नंबर की हैं. अगर नहीं हैं तो हम दूसरी संख्या के आगे उतने नंबर का बनाने के लिए कम पद रही नंबर के स्थान पर जीरो दाल देंगे. यह बात मैं इस प्रश्न के हल के द्वारा बताऊंगा.
अब एक तीसरा प्रश्न लेते हैं. प्रश्न: 1000 - 83 = ?.
अब हम इसे 1000 - 083 = ? मान लेंगे. फिर वैसी ही तरीके की गणना करेंगे..
9 9 10
0 8 3
-----------------
9 1 7
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 917.
इस प्रश्न में पहली संख्या में तीन जीरो हैं तो दूसरी संख्या ३ नंबर की हैं. अगर नहीं हैं तो हम दूसरी संख्या के आगे उतने नंबर का बनाने के लिए कम पद रही नंबर के स्थान पर जीरो दाल देंगे. यह बात मैं इस प्रश्न के हल के द्वारा बताऊंगा.
अब एक तीसरा प्रश्न लेते हैं. प्रश्न: 1000 - 83 = ?.
अब हम इसे 1000 - 083 = ? मान लेंगे. फिर वैसी ही तरीके की गणना करेंगे..
9 9 10
0 8 3
-----------------
9 1 7
बस हमारा उतर मिल गया जो की हैं 917.
2. दूसरा अध्याय--
इस अध्याय में हम गुना करना सीखेंगे, जो की बहुत ही आसान हैं..
सबसे पहले हम एक अंक की संख्या को गुणा करना सीखेंगे. जैसे की मान लेते हैं की हमें 8 X 7 = ? निकालना हैं. इस विधि को हम "VERTICALLY OR CROSSWIRE MULTIPLICATION" कहते हैं. 8 जो की 10 से "2" छोटा हैं और 7 जो की 10 से "3" छोटा हैं.
इस विधि में सबसे पहले दोनों संख्या जैसे 8 और 7 को एक दुसरे के ऊपर निचे लिखेंगे. फिर संख्या के बगल में उसे 10 में से घटा के लिख देंगे जैसे 8 , 10 से "2" छोटा हैं तो "2" और 7, 10 से "3" छोटा हैं तो "3".
फिर सबसे पहले दाई तरफ के दोनों संख्यायों को आपस में गुणा करके लिख देंगे. (जैसे 2X3 = 6). फिर देखेंगे की क्रोस करके बाई तरफ की संख्या से दाई तरफ की संख्या कितनी छोटी हैं. जैसे 8 से 3 "5" छोटी हैं या 7 से 2 "5" छोटी हैं. बस गुणनफल में बाई तरफ "5" को लिख देंगे. इस तरह हमारा जवाब आएगा "56" जो की सही उतर हैं.. (सारी क्रिया आप चित्र में देख सकते हैं.)
इस अध्याय में हम गुना करना सीखेंगे, जो की बहुत ही आसान हैं..
सबसे पहले हम एक अंक की संख्या को गुणा करना सीखेंगे. जैसे की मान लेते हैं की हमें 8 X 7 = ? निकालना हैं. इस विधि को हम "VERTICALLY OR CROSSWIRE MULTIPLICATION" कहते हैं. 8 जो की 10 से "2" छोटा हैं और 7 जो की 10 से "3" छोटा हैं.
इस विधि में सबसे पहले दोनों संख्या जैसे 8 और 7 को एक दुसरे के ऊपर निचे लिखेंगे. फिर संख्या के बगल में उसे 10 में से घटा के लिख देंगे जैसे 8 , 10 से "2" छोटा हैं तो "2" और 7, 10 से "3" छोटा हैं तो "3".
फिर सबसे पहले दाई तरफ के दोनों संख्यायों को आपस में गुणा करके लिख देंगे. (जैसे 2X3 = 6). फिर देखेंगे की क्रोस करके बाई तरफ की संख्या से दाई तरफ की संख्या कितनी छोटी हैं. जैसे 8 से 3 "5" छोटी हैं या 7 से 2 "5" छोटी हैं. बस गुणनफल में बाई तरफ "5" को लिख देंगे. इस तरह हमारा जवाब आएगा "56" जो की सही उतर हैं.. (सारी क्रिया आप चित्र में देख सकते हैं.)
अब हम दो अंक की संख्या को गुणा करना सीखेंगे. जैसे की मान लेते हैं की हमें 88 X 98 = ? निकालना हैं. इसमें भी ठीक वही विधि यानी "VERTICALLY OR CROSSWIRE MULTIPLICATION" अपनाएंगे. 88 जो की 100 से "12" छोटा हैं और 98 जो की 100 से "2" छोटा हैं.
अब सबसे पहले दोनों संख्या जैसे 88 और 98 को एक दुसरे के ऊपर निचे लिखेंगे. फिर संख्या के बगल में उसे 100 में से घटा के लिख देंगे जैसे 88 , 100 से "12" छोटा हैं तो "12" और 98, 100 से "2" छोटा हैं तो "2".
फिर सबसे पहले दाई तरफ के दोनों संख्यायों को आपस में गुणा करके लिख देंगे. (जैसे 12X2 = 24). फिर देखेंगे की क्रोस करके बाई तरफ की संख्या से दाई तरफ की संख्या कितनी छोटी हैं. जैसे 88 से 2 "86" छोटी हैं या 98 से 12 "86" छोटी हैं. बस गुणनफल में बाई तरफ "86" को लिख देंगे. इस तरह हमारा जवाब आएगा "8624" जो की सही उतर हैं.. (सारी क्रिया आप चित्र में देख सकते हैं.)
नोट: इस विधि में बस इतना ध्यान रखना हैं की अगर एक अंक की संख्या का गुणनफल निकालना हैं तो "10" में से घटाएंगे, यदि दो अंक की संख्या हैं तो "100" में से.
अब सबसे पहले दोनों संख्या जैसे 88 और 98 को एक दुसरे के ऊपर निचे लिखेंगे. फिर संख्या के बगल में उसे 100 में से घटा के लिख देंगे जैसे 88 , 100 से "12" छोटा हैं तो "12" और 98, 100 से "2" छोटा हैं तो "2".
फिर सबसे पहले दाई तरफ के दोनों संख्यायों को आपस में गुणा करके लिख देंगे. (जैसे 12X2 = 24). फिर देखेंगे की क्रोस करके बाई तरफ की संख्या से दाई तरफ की संख्या कितनी छोटी हैं. जैसे 88 से 2 "86" छोटी हैं या 98 से 12 "86" छोटी हैं. बस गुणनफल में बाई तरफ "86" को लिख देंगे. इस तरह हमारा जवाब आएगा "8624" जो की सही उतर हैं.. (सारी क्रिया आप चित्र में देख सकते हैं.)
नोट: इस विधि में बस इतना ध्यान रखना हैं की अगर एक अंक की संख्या का गुणनफल निकालना हैं तो "10" में से घटाएंगे, यदि दो अंक की संख्या हैं तो "100" में से.
अब 100 से ऊपर की संख्या को गुणा करना सीखेंगे......
जैसे मान लेते हैं की 103 X 104 = ? निकालना हैं. सबसे पहले दोनों संख्या के अंतिम अंक को आपस में गुणा कर लेनेगे, यानी (3 X 4 = 12). अब या तो पहली संख्या(103) में दूसरी संख्या के अंतिम अंक(4) को जोड़ कर लिख देंगे (103 + 4 = 107) या दूसरी संख्या(104) को पहली संख्या के अंतिम अंक(3) को जोड़ कर लिख देंगे (104 + 3 = 107). आ गया उतर.
103 X 104 = 107 12
जैसे मान लेते हैं की 103 X 104 = ? निकालना हैं. सबसे पहले दोनों संख्या के अंतिम अंक को आपस में गुणा कर लेनेगे, यानी (3 X 4 = 12). अब या तो पहली संख्या(103) में दूसरी संख्या के अंतिम अंक(4) को जोड़ कर लिख देंगे (103 + 4 = 107) या दूसरी संख्या(104) को पहली संख्या के अंतिम अंक(3) को जोड़ कर लिख देंगे (104 + 3 = 107). आ गया उतर.
103 X 104 = 107 12
दूसरा उदाहरण:
107 X 106 = 113 42
तरीका: 107 + 6 = 113 और 7 X 6 = 42.
107 X 106 = 113 42
तरीका: 107 + 6 = 113 और 7 X 6 = 42.
गणना करने का एक उदाहरण मेरी और से भी प्रस्तुत है जी-
मान लीजिये आपको 8 x 7 निकालना है।
आप कहेंगे कि इसका जवाब 56 है। बिल्कुल सही। लेकिन जैसा कि मैंने पहले कहा कि केवल 5 तक का ही Table आने की आवश्यकता है।
8 और 10 में 2 का अंतर है व 7 और 10 में 3 का अंतर है। इन्हें कुछ इस तरह से लिखें:
8 - 2
7 - 3
अब 8 में से 3 को (8-3 = 5)या फिर 7 में से 2 (7 - 2 = 5) को घटायें।
और 2 * 3 निकालें...(2*3=6) और कुछ इस तरह से लिखें:
82
73
(8-3) (2*3)
56
जवाब आपके सामने है: 56
इसी तरह से
7 x 6 = 42
73
64
(6-3) (3*4)
312 (अब इसमें से 1 को 3 में जोड़ें)
उत्तर : 42
इसे आप 100 के Base तक ले जा सकते हैं.. मसलन
99 * 88
991
8812
(88-1)(1*12)
8712
मान लीजिये आपको 8 x 7 निकालना है।
आप कहेंगे कि इसका जवाब 56 है। बिल्कुल सही। लेकिन जैसा कि मैंने पहले कहा कि केवल 5 तक का ही Table आने की आवश्यकता है।
8 और 10 में 2 का अंतर है व 7 और 10 में 3 का अंतर है। इन्हें कुछ इस तरह से लिखें:
8 - 2
7 - 3
अब 8 में से 3 को (8-3 = 5)या फिर 7 में से 2 (7 - 2 = 5) को घटायें।
और 2 * 3 निकालें...(2*3=6) और कुछ इस तरह से लिखें:
82
73
(8-3) (2*3)
56
जवाब आपके सामने है: 56
इसी तरह से
7 x 6 = 42
73
64
(6-3) (3*4)
312 (अब इसमें से 1 को 3 में जोड़ें)
उत्तर : 42
इसे आप 100 के Base तक ले जा सकते हैं.. मसलन
99 * 88
991
8812
(88-1)(1*12)
8712
73*77 को हम जल्दी से गुणा कर सकते हैं?
आइये पहले जानते हैं कि आज के अंग्रेज़ी माध्यम से हम किस तरह से Multiply करते हैं:
7 3
*7 7
--------
51 1
5 11 *
-----------
5621
अब जानते हैं वैदिक गणित का हल:
7 3
7 7
--------------------------
(7*7 बायें के दोनों अंक का गुणा = 49)
(Top-left * Right Bottom) + (Top-Right*Bottom Left) = 7*7 + 7*3 = 70
अंतिम दोनों अंकों का गुणा = 3 * 7 = 21
4 9 0
7 2 1
------------------------
5621
आइये पहले जानते हैं कि आज के अंग्रेज़ी माध्यम से हम किस तरह से Multiply करते हैं:
7 3
*7 7
--------
51 1
5 11 *
-----------
5621
अब जानते हैं वैदिक गणित का हल:
7 3
7 7
--------------------------
(7*7 बायें के दोनों अंक का गुणा = 49)
(Top-left * Right Bottom) + (Top-Right*Bottom Left) = 7*7 + 7*3 = 70
अंतिम दोनों अंकों का गुणा = 3 * 7 = 21
4 9 0
7 2 1
------------------------
5621
Algebra की दृष्टि से:
मान लीजिये ये दो संख्यायें हैं:
मान लीजिये ये दो संख्यायें हैं:
ax+b, cx+d
यानि (ax+b) × (cx+d)
यानि (ax+b) × (cx+d)
= acx² + (ad + bc)x + bd
= acx² / (ad + bc)x / bd
और अब x=10 मानिये और 73*77 का उत्तर निकालिये
इसे ऊर्ध्व तिर्यग्भ्याम कहते हैं।
और अब x=10 मानिये और 73*77 का उत्तर निकालिये
इसे ऊर्ध्व तिर्यग्भ्याम कहते हैं।
निखिलं नवतश्चरमं दशत: सूत्र का एक उदाहरण और देते चलें:
मान लीजिये आपको 18 का square निकालना है:
(यहाँ "/" का अर्थ Divide से नहीं है)
18 * 18
मान लीजिये आपको 18 का square निकालना है:
(यहाँ "/" का अर्थ Divide से नहीं है)
18 * 18
= (18 + 8) / (8*8)
= 26/64
= (26+6)/4
= 324 (उत्तर)
इसी तरह:
या 12*12
इसी तरह:
या 12*12
= (12+2)/(2*2)
= 14/4
= 144 (उत्तर)
ऊपर दिये गये उदाहरणों में 18 व 12 संख्यायें 10 से क्रमश: 8 व 2 अधिक हैं इसलिये उनमें 8, 2 जोड़े हैं।
इसी तरह नीचे दिये गये उदाहरणों में संख्यायें 100 से कम हैं।
या
ऊपर दिये गये उदाहरणों में 18 व 12 संख्यायें 10 से क्रमश: 8 व 2 अधिक हैं इसलिये उनमें 8, 2 जोड़े हैं।
इसी तरह नीचे दिये गये उदाहरणों में संख्यायें 100 से कम हैं।
या
92*92
= (92 - 8)/(8*8)
= 84/64
= 8464
96*96
= (96-4)/(4*4)
= 92/16
= 9216
989*989
989*989
= (989-11)/(11*11)
= 978/121
= 978121 (उत्तर)
कितना समय लगा???
पाँच सेकंड?
या पाँच मिनट.. कैलकुलेटर से भी जल्दी है यह!!!!
988*988
988*988
= (988-12)/(12*12)
= 976/144
= 976144
निखिलंसूत्रं के कुछ टिप्स :
निखिलम सूत्र से किसी संख्या का वर्ग निकालना।
* निखिलम सूत्र तब लागू होता है जब वांछित संख्या आधार के काफी निकट होती है।
* आधार के बारे में आप पहले ही जान चुके हैं यह 10 की पावर का गुणज होता है।
यदि संख्या आधार से कम है तो इसका सूत्र इस प्रकार बनेगा।
± विचलन = वांछित संख्या – आधार
वांछित संख्या – आधार = ± विचलन
(संख्या)² = (संख्या ± विचलन)/(विचलन)²
मान लीजिये आपने 7 का square निकालना है:
मान लीजिये आपने 7 का square निकालना है:
चूँकि 7 के लिये 10 को आधार माना जायेगा।
अतः विचलन = 7–10 = –3
[साधारण शब्दों में हम इस प्रकार भी समझ सकते हैं चूंकि 7 के लिये 10 को आधार माना जायेगा अत: 10 में से 7 जितना कम होगा उसे 7 से उतना ही घटायेंगे.. उदाहरण से समझ आ जायेगा।]
आधार से छोटी संख्याओं के लिए
(संख्या)² = (संख्या ± विचलन)/(विचलन)²
7²
= (7 - 3)/(3×3)
= 4/9
= 49
6²
= (6-4)/(4×4)
= 2/16
=(2+1)/6
= 36
8²
= (8-2)/(2×2)
= 6/4
= 64
आधार से बड़ी संख्याओं के लिए
(संख्या)² = (संख्या ± विचलन)/(विचलन)²
आधार से बड़ी संख्याओं के लिए
(संख्या)² = (संख्या ± विचलन)/(विचलन)²
12²
= (12 + 2)/(2×2)
= 14/4
= 144
14²
= (14+4)/(4×4)
= 18/16
= (18 + 1) / 6
= 196
उदाहरणों में क्योंकि 10 को base माना गया है इसलिये "/" के दाईं और एक ही अंक आयेगा और दाईं संख्या में जो अंक दहाई का होगा यानि 10th place का होगा उसको बाईं संख्या में जोड़ दिया जाता है।
19²
19²
= (19 + 9 )/ (9 * 9 )
= 28/81
= (28 + 8) /1
= 361
एकाधिकेन पूर्वेण की सहायता से 5 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का Square कैसे निकाला जाता है:
=(निखिलांक) × •(निखिलांक) / (चरमांक)²
चरमांक = इकाई अंक
निखिलांक = इकाई के अतिरिक्त शेष अंक
दो अंको की संख्या में इकाई का अंक चरमांक तथा दहाई का अंक निखिलांक होता है।
संख्या निखिलांक चरमांक
10 1 0
11 1 1
14 1 4
19 1 9
27 2 7
32 3 2
54 5 4
89 8 9
करना केवल इतना है कि "/" के बाद के अंक हमेशा 25 रहेंगे और इसके पहले के अंक के लिये 5 से पहले जो संख्या है उसमें एक जोड़ कर उसी संख्या से Multiply करना होगा।
15 के लिये 1 को 2 से और 65 के लिये 6 को 7 से।
वर्ग
= (निखिलांक) × •(निखिलांक) / (चरमांक)²
15² = (1 * 2) / 25 = 2/25 = 225
25² = (2 * 3)/25 = 6/25 = 625
35² = (3 * 4) / 25 = 12/25 = 1225
75² = (7 * 8)/25 = 56/25 = 5625
135²
= (13 * 14)/5²
= (13 * 14)/25
= 182/25
= 18225
195²
= (19 * 20)/5²
= (19 * 20)/25
= 380/25
= 38025
इसी तरह हम उन संख्याओं को भी Multiply कर सकते हैं जिनके आखिरी के अंकों का जोड़ 10 बनता है और पहले का अंक बराब्रर है। जैसे:
27 * 23 | इसमें 7 + 3 = 10 और पहला अंक 2 ही है। इसलिये:
(2 * 3)/ (7 * 3) = 6 / 21 = 621
96 * 94 = (9 * 10)/(6 * 4) = 90/24 = 9024
98 * 92 = (9 * 10) / (8 * 2) = 9016
87 * 83 = (8 * 9) / (7 * 3) = 72/21 = 7221
114 * 116 = (11 * 12 )/ (4 * 6) = 132/24
27 * 23 | इसमें 7 + 3 = 10 और पहला अंक 2 ही है। इसलिये:
(2 * 3)/ (7 * 3) = 6 / 21 = 621
96 * 94 = (9 * 10)/(6 * 4) = 90/24 = 9024
98 * 92 = (9 * 10) / (8 * 2) = 9016
87 * 83 = (8 * 9) / (7 * 3) = 72/21 = 7221
114 * 116 = (11 * 12 )/ (4 * 6) = 132/24
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