वर्गमूल व घनमूल ज्ञात कीजिए

वर्ग एवं वर्गमूल 

प्रश्न 1
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में इकाई का अंक क्या हो सकता है ?
(i) 9604
(ii) 65536
(iii) 998001
(iv) 60481729
हल:
(i) 9604 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 2, 8
(ii) 65536 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 4, 6
(iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 1,9
(iv) 60481729 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 3, 7

प्रश्न 2
अनुमान लगाकर बताइए निम्नलिखित में कौन-कौन सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती हैं ?
(i) 48
(ii) 81
(iii) 102
(iv) 24636
हल:
(i) 48 (iii) 102 तथा (iv) 24636 पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं।

प्रश्न 3
अभाज्य गुणनखण्डविधिद्वारावर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 1296
(ii) 729
(iii) 1764
(iv) 3969
(v) 4356
(vi) 1600
हल:
हल:
(i) 1296
∴ 1296 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3

अतः  = 2 x 2 x 3 x 3
= 36

(ii) 729
∴ 729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

अतः  = 3 x 3 x 3
= 27

(iii) 1764
∴ 1764 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 7

अतः  = 2 x 3 x 7
= 42

(iv) 3969
∴ 3969 = 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 7

अत:  = 3 x 3 x 7
= 63

(v) 4356
∴ 4356 = 2 x 2 x 3 x 3 x 11 x 11

अत:  = 2 x 3 x 11
= 66

(vi) 1600
∴ 1600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5

अत:  = 2 x 2 x 2 x 5
= 40

प्रश्न 1
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) 441
(ii) 576
(iii) 1225
(iv) 2916
(v) 4624
(vi) 7921
हल:
इकाई स्थान से प्रारम्भ करते हुए 2 – 2 अंकों का जोड़ा बनाएँगे।
(i) 441

अत:  = 21

(ii) 576

अत: 

 = 24

(iii) 1225

अत:  = 35

(iv) 2916

अत:  = 54

(v) 4624

अत:  = 68

(vi) 7921

अत:  = 89

प्रश्न 2
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल बिना गणना के ज्ञात कीजिए।
(i) 121
(ii) 256
(iii) 4489
(iv) 60025
हल:
सबसे पहले संख्या के इकाई के अंक की सहायता से, निम्न सारणी का प्रयोग करके वर्गमूल के इकाई का अंक ज्ञात करेंगे

दी संख्या का इकाई  अंक	दी गई संख्या के वर्गमूल के इकाई का सम्भावित अंक
1	1 या 9
4	2 या 8
5	5
6	4 या 6
9	3 या 7

(i) 121
∵ इसके इकाई कम अंक = 1
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 1 या 9
21 को छोड़ने पर, शेष अंक = 1
∵ 1² = 1 < 2²
अतः 121 का मान 112 होगा
⇒  = 11

(ii) 256
∵ इसके इंकाई का अंक = 6
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 4 या 6
56 को छोड़ने पर, शेष अंक = 2
∵1² < 2² < 2²
इसलिए 256 का मान होगा = 14² या 16²
∵ 15² = 225
∴  = 16

(iii) 4489
∵ इसके इकाई का अंक = 9
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 3 या 7
89 को छोड़ने पर, शेष अंक = 44
∵ 6² < 44 <7²
अत: 4489 का मान होगा = 63² या 67²
∵ 65² = 4225
∴  = 67

(iv) 60025
∵ इसके इकाई का अंक = 5
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 5
25 को छोड़ने पर, शेष अंक = 600
∵ 24² < 600 < 25²
अत: 60025 का मान होगा 245² होगा।
∴  = 245

प्रश्न 3
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 6.25
(ii) 2.89
(iii) 32.49
(iv) 31.36
(v) 57.76
हल:
(i) 6.25.

अत:  = 2.5

(ii) 2.89

अत:  = 1.7

(iii) 32.49

अत:  = 5.7

(iv) 31.36

अत:  = 5.6

(v) 57.76

अत:  = 7.6

प्रश्न 4
निम्न संख्याओं में क्या जोड़ा जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
(i) 420
(ii) 2000
(iii) 837
(iv) 3500
हल:
(i) हम देखते हैं कि 420 पूर्ण वर्ग संख्या (400) से 20 अधिक है।
अतः 420 में से 20 घटाने पर हमें पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जायेगी।

∴ 420 – 20 = 400 ⇒  = 20
अतः 420 में जोड़ने से पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो, तो 20 के स्थान पर 21 वर्ग पर विचार करेंगे जो कि (21)2 = 441
अत: हम 441 – 420 = 21 जोड़ना होगा।

(ii) हम देखते हैं कि 2000 पूर्ण वर्ग संख्या से 64 अधिक है।
∴ 2000 – 64 = 1936
 = 44
11
पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए = 44 + 1 = 45 के वर्ग पर विचार करेंगे।
(45)² = 2025
अत: हम 2025 – 2000 = 25 जोड़ना होगा।

(iii) हम देखते हैं कि 837 पूर्ण वर्ग संख्या से 53 अधिक है।
∴ 837 – 53 = 784
 = 28

पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए = 28 + 1 = 29 के वर्ग पर विचार करेंगे
(29)² = 841
अतः हम 841 – 837 = 4 जोड़ना होगा।

(iv) 3500
हम देखते हैं कि 3500 पूर्ण वर्ग
53500 संख्या से 19 अधिक है।
∴ 3500 – 19 = 3481
 = 59

पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए = 59 + 1 = 60 के
वर्ग पर विचार करेंगे (60)² = 3600
अत: 3600 – 3500 = 100 जोड़ना होगा।

प्रश्न 5
निम्न संख्याओं में से क्या घटाया जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
(i) 555
(ii) 252
(iii) 1650
(iv) 6410
हल:
(i) 555
घटाई जाने वाली संख्या 26 है।

(ii) 252
घटाई जाने वाली संख्या 27 है।

(iii) 1650
घटाई जाने वाली संख्या 50 है।

(iv) 6410
घटाई जाने वाली संख्या 10 है।

प्रश्न 6
एक विवाह समारोह में वर्गाकार जमावट(RBSESolutions.com)में कुर्सियाँ लगायी जानी हैं। 1000 कुर्सियाँ उपलब्ध हैं। वर्गाकार जमावट के लिए और कितनी कुर्सियों की आवश्यकता होगी। साथ ही यह भी बताएँ, प्रत्येक पंक्ति में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी।
हल:
कुल कुर्सी = 1000
1000 पूर्ण वर्ग संख्या से 39 अधिक है।
∴ 1000 – 39 = 961
∴  = 31

वर्गाकार जमावट में और आवश्यक कुर्सियों की संख्या
= (32)² – 1000 = 1024 – 1000 = 24
प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियों की संख्या = 31 + 1 = 32

प्रश्न 7
एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 361 मी² है तो उस खेत के चारों ओर तारबंदी हेतु कितने मीटर तार वी आवश्यकता होगी ?
हल:
वर्गाकार खेत का क्षे. = 361 मीटर²
∴ वर्गाकार खेत की भुजा =  = 19 मी.
अत: चारों ओर आवश्यक तार की लम्बाई = 4 x 19
= 76 मीटर

प्रश्न 8
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण 21176 वर्ग बन जाए ?
हल:
2352 अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
∴ 2352 == 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 3

अत: 3 से भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जायेगा।

प्रश्न 2

आकलन विधि एवं अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित संख्याओं को घनमूल ज्ञात कीजिए तथा अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(i) 64
(ii) 343
(iii) 5832
(iv) 74088
(v) 3375
(vi) 10648
(vii) 46656
(viii) 91125
हल:
(i) 64
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 64 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनायें।
64

चरण 2
पहला समूह 64 है तथा इसका इकाई का अंक 4 है जो कि केवल 4 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (4³ = 64) अतः इकाई का अंक 4 होगा।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 4 होगा।
इस प्रकार  = 4

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(ii) 343
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 343 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
343

चरण 2
पहला समूह 343 है तथा इसका इकाई का अंक 3 है जो कि केवल 7 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (7³ = 343)
अतः इकाई का अंक 7 होगा।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 7 होगा।
इस प्रकार  = 7

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(iii) 5832
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 5832 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
5 832

चरण 2
पहला समूह 832 है तथा इसका इकाई का अंक 2 है जो कि केवल 8 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (8³= 512)
अतः इकाई का अंक 8 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 2 प्राप्त हुआ।
1³ < 2 < 2³
अतः दहाई का अंक 1 प्राप्त हुआ।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 18 होगा।
इस प्रकार  = 18

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(iv) 74088
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 74088 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
74 088

चरण 2
पहला समूह 088 है तथा इसका इकाई का अंक 8 है जो कि केवल 2 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (2³ = 8)
अतः इकाई का अंक 2 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 74 प्राप्त हुआ।
4³ < 74 < 5³
अतः दहाई का अंक 4 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 42 होगा।
इस प्रकार  = 42

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(v) 3375
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 3375 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
3 375

चरण 2
पहला समूह 375 है तथा इसका इकाई का अंक 5 है जो कि केवल 5 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (5³ = 125)
अतः इकाई का अंक 5 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 3 प्राप्त हुआ।
1³ < 3 < 2³
अतः दहाई का अंक 1 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का(RBSESolutions.com) घनमूल 15 होगा।
इस प्रकार  = 15

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(vi) 10648
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 10648 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
10 648

चरण 2
पहला समूह 648 है तथा इसका इकाई का अंक 8 है जो कि केवल 2 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (2³ = 8)
अतः इकाई का अंक 2 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 10 प्राप्त हुआ।
2³ < 10 < 3³
अतः दहाई का अंक 2 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या(RBSESolutions.com) का घनमूल 22 होगा।
इस प्रकार  = 22

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(vii) 46656
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 46656 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनायें।
46 656

चरण 2
पहला समूह 656 है तथा इसका इकाई का अंक 6 है जो कि 6 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (6³ = 216)
अतः इकाई का अंक 6 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 46 प्राप्त हुआ।
3³ < 46 < 4³
अतः दहाई का अंक 3 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 36 होगा।
इस प्रकार  = 36

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(viii) 91125
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 91125 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
91 125

चरण 2
पहला समूह 125 है तथा इसका इकाई का अंक 5 है जो कि 5 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (5³ = 125)
अतः इकाई का अंक 5 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 91 प्राप्त हुआ।
4³ < 91 < 5³
अतः दहाई का अंक 4 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 45 होगा।
इस प्रकार  = 45

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर